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[文化] 上学时最怕的这门课，最终还是用上了

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淘乐儿 发表于 2024-2-26 13:00:00 | 只看该作者 打印 上一主题 下一主题
 
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第1张图片

《万物理论》也许很多人都觉得数学离我们很远，别说在日常生活中除了买菜根本用不着，自从出了校门后，很多人几乎再也没有和这门学科打过交道。其实，数学在生活中的应用并没有我们想得那么遥远和难以理解，这门科学正在大家看不见的地方悄悄地影响着我们每天的日常生活。比如，你是否相信一个三百年前数学小谜题的解法，能在今天帮我们找到更高效的肾脏移植方法？或者，一个19世纪数学家散步时的灵光一现，帮我们改善了今天电影和电脑游戏中特效的使用？再比如，政客们能够利用数学以我们看不见的方式操纵选举，影响大选结果？在《让鸽子开公交车？》里，英国数学家，英国华威大学数学系名誉教授伊恩·斯图尔特生动地解释了这些原理，并从这样有趣的案例入手，向我们说明，数学还有许多我们意想不到的用处。在书中，作者通过新奇的联结，让生活中无形的数学显现出来，带我们重新发现数学的有趣和有用。以下内容摘选自《让鸽子开公交车？》
数学如何应用于政治究竟怎样才能让数学应用于政治呢？政治是关乎人际关系、协议和义务的，而数学则是冰冷抽象的逻辑。在政治圈子里，修辞胜过逻辑，无情的数学计算似乎与政治争吵毫无瓜葛。然而，民主政治是按照规则进行的，这些规则在最初被制定时，它们所产生的后果并不总是可以被预见的。欧几里得在几何学上的开创性工作，为从规则中推导出结果设立了一个标杆，这些工作被收录在著名的《几何原本》中。事实上，对数学而言这是个不错的定义。总而言之，在仅仅2500年之后，数学正开始渗透到政治领域。民主有一个奇怪的特点，那些声称奉行“由‘人民’做决定”理念的政客，都不辞辛劳地反复确保这种情况不会发生。这一趋势可以追溯到最早的古希腊民主，当时只有雅典成年男性拥有选举权，这些人约占成年人口的三分之一。从通过民众投票选举领导人和决定政策的想法被构想出来的那一刻起，通过控制投票的对象和投票的有效性以破坏整个过程的想法就更令人着迷。这很简单，即使每一个选民都有一票也是如此，因为选票的有效性是由其所处的环境决定的，而环境是可以操控的。正如新闻学教授韦恩·道金斯所说，这相当于政客捞选民的票，而不是选民用票挑政客。数学在这里登场了。它出现在辩论规则的结构及其所适用的环境里，而不是在针锋相对的政治辩论上。数学的分析是把双刃剑。它可以搞出操纵选举的新诡计，也可以让人们注意到这种做法，用充分的证据锁定这种破坏行径，有时候还可以阻止破坏发生。数学还告诉我们，任何民主制度都必须包含妥协的元素。你不可能拥有你想要的一切，不管它们是多么的理想，因为这些理想是自相矛盾的。
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第2张图片

《流人》

“白白浪费的选票”在美国总统选举中，每个州投票给特定数量的“选举人”——选举人团的成员。每个选举人有一票，谁成为总统是由这些选票的简单多数决定的。当时，将信息从美国腹地传递到权力中心的唯一方式是骑马或乘马车，这套系统是在那样的年代诞生的，而长途铁路和电报是后来才有的。当时，计算大量的个人选票过于缓慢，而这种制度也把控制权给了选举人团的精英们。在英国的议会选举中，国家被分成（主要是按地域划分的）不同选区，每个选区选举一名国会议员（Member of Parliament，缩写为MP，在英国政体中专指下议院议员）。然后，拥有最多议员的政党（或联合政府中的政党）组建政府，并通过各种方法选出其中一名议员担任首相。首相拥有相当大的权力，在很多方面更像是一位总统。将民主决策交由少数人把关还有一个隐蔽的原因，那就是投票更容易被操纵。所有这样的制度都有先天性缺陷，往往会导致奇怪的结果，有时还会被用来藐视人民的意愿。在最近的几次美国总统选举中，选民投给败选的候选人总票数要大于获胜的候选人票数。我同意，目前的总统选举方法并不是基于普选的，但有了现代通信后，它没有改变为一个更加公平的制度的唯一原因是有很多权力人士喜欢它现在运作的方式。
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第3张图片

《纸牌屋》
这里的根本问题在于“白白浪费的选票”。在每个州，候选人需要获得总票数的一半再加上一票（如果总票数是奇数，则需要再得到半张票）才能获胜；任何超过这个范围的额外选票对选举人团阶段的情况都没有影响。因此，在2016年总统大选中，唐纳德·川普和希拉里·克林顿分别获得了304张和227张选举人票，但克林顿比川普多了287万张普选票。川普由此成了第五位输掉普选的美国总统。美国各州的边界实际上是不能动的，所以上面的情况并不是一个选区划分的问题。在其他选举中，选区边界可以被重新划定，并且通常由执政党执行，这样就会出现一个更隐蔽的缺陷。换句话说，该政党可以通过划定边界，以确保反对党的大量选票被浪费。就像埃尔布里奇·格里搞的参议院投票。当马萨诸塞州的选民看到选区地图时，大多数看起来完全正常，除了一个选区：该州西部和北部的12个县被合并成一个曲折蜿蜒的不规则区域。
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第4张图片


集中和分化不公平划分选区的数学研究始于对如何划分选区的观察。其中主要有两种策略：集中和分化。集中是指尽可能均匀地分散自己的选票，让自己在尽可能多的地区保证成为微弱多数，同时将剩下的部分让给对手。反之就没那么客气，分化就是把反对派的选票搞得支离破碎，使他们失去尽可能多的选区。比例代表制，即代表的人数与每个政党的总票数（或尽可能接近总票数）成比例，可以避免这类花招，也更加公平。不出所料，美国宪法将比例代表制判为非法，因为根据现行法律，每个选区必须只产生一名代表。2011年，英国就另一种选择——单一可转移票制——举行了公投，结果民众投票反对这一改变。在英国，从来没有就比例代表制进行过公投。以下展示的是集中和分化在理想化情况下的工作原理，其中的地理状况和投票分布都非常简单。有“光明”和“黑暗”两个政党争夺杰里曼迪亚州。
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第5张图片

这个州有50块区域，将被划分成5个选区。在最近的选举中，光明党在20块区域中占多数，它们全部都在北部，而黑暗党在30块南部区域占多数（如左上图所示）。在上次投票中险胜的光明党政府重新划分了该州的选区，将更多的选民集中到3个选区（右上图），从而赢得了3个选区，而黑暗党只拿下2个选区。随后，黑暗党在法庭上质疑了这种重新划分选区的做法，理由是选区的形状显然是不公平的，他们还设法得到了下次选举时重新划分选区的控制权，通过分化来确保自己将赢得所有五个选区。如果每个选区必须由10块小正方形区域组成，光明党通过集中能得到的最好结果是拿下5个选区中的3个。他们要赢得10块区域中的6块才能拿下这个选区，在此情况下他们控制了20块区域（即三个6块加一个2块，这2块就浪费了）。黑暗党通过分化所能达到的最好效果是拿下全部5个选区。在比例代表制下，光明党和黑暗党分别得到2个和3个选区，如前一页图片所示。（在实践中，比例代表制并非通过分区制实现。）
防止不公平选区出现的五种方法明白了政客用来实现党派重新划分选区的秘密方法后，你就可以构造数学上的量或规则来发现它们了。任何规则都不完美——事实上，这已经被证明是不可能的，这一点等有了相关的背景知识后，我会再谈。目前可供使用的方法有五种：△ 检测选区是否奇形怪状。△ 检测席位与选票比例是否不平衡。△ 量化被检分区产生了多少被浪费的选票，并将其与经法律认定有效的选票进行比较。△ 考虑所有可能的选举分区地图，根据现有的选民数据估计可能的结果，并检查所提议的分区地图在统计上是否是一个异常值。△ 双方达成协议以保证最终结果本身是公平的，看起来是公平的，并且这种公平是得到认可的。第五种方法是最令人惊讶的，而令人惊讶的地方在于它实际上是能被实现的。让我们顺次讨论，把这份惊喜留到最后。
第五种方法的可行性对不公平划分选区的数学理解有利有弊。它可以帮助选民和法院发现这种情况，但也可以提出更有效的不公平选区划分方案。它可以帮助人们遵守法律，但也可以帮助他们突破法律，或是更糟的——扭曲法律。每当为防止某种滥用而制定技术性规则时，人们就会钻制度的空子，仔细推敲这些规则是否有漏洞。数学方法的最大优点是能让规则本身变得清晰，它还会带来一种全新的可能性。与其徒劳地想要说服彼此竞争的政治利益集团就什么是公平达成一致，好让他们有机会玩弄受法院监管的体制，倒不如让他们自己一争高下。这不是让他们仗着自己所拥有的权势和金钱资源自由混战，而是得在一个确保结果本身是公平的、看起来是公平的，而且各方无法拒绝接受它是在公平的框架里运转。
上学时最怕的这门课，最终还是用上了 第6张图片

《流人》
这似乎包括了很多问题，不过专门用于这个思路的完整数学领域最近已经出现了，那就是公平分配理论。它让我们明白，精心构建的谈判框架可以实现原本看似不可能的目标。最经典的例子莫过于两个孩子为了分一块蛋糕而争吵。如何使用一种可以被证明是公平的协议（一套预先明确的规则）分配蛋糕呢？比较经典的解决方案是“我切，你选”。让艾丽斯切蛋糕，那么她就会认为两块蛋糕是一样的。然后让鲍勃先选一块，由于蛋糕是他自己选的，那么他就不该有任何异议——他有机会选择另一块。艾丽斯也不应该有异议：如果她认为鲍勃选了更大的蛋糕，那么她一开始就应该把它们切得不一样。如果他们为不知道选谁切蛋糕而烦恼，那就抛硬币决定，但这其实无所谓。人的本性就是这样，我们不能确定孩子们在分完蛋糕后也是如此。以前，我曾在一篇文章中说过这个方法，有一位读者写信给我说，他在自己的孩子身上用了这个方法，结果他家的“艾丽斯”立即抱怨说“鲍勃”的那块更大。当这位读者指出这是她自己切得不好时，这句话并没有起什么作用——在“艾丽斯”看来，这相当于在责备吃亏的人——所以她父亲把那两块换了一下，结果只是听见女儿哀号道：“他的那块还是比我的大！”但这类协议应该会让政客满意，至少能让他们闭嘴，当然它也应该在法庭上得到采纳，法官只需要检查一下程序执行得是否正确。此类协议的主要特征是，我们不是去想着消除艾丽斯和鲍勃之间的相互敌对，而是利用这种敌意来实现一个公平的结果。不要要求他们公平竞争，不要要求他们相互合作，更不要人为地给“公平”下一些法律上的定义，让他们互相对抗，正大光明地行事就行。当然，艾丽斯和鲍勃必须事先同意遵守这些规则，必须就某些事情达成一致，这些规则显然是公平的，倘若不遵守，很可能会遭到冷遇。“我切，你选”有一个很重要的特点，它不涉及对蛋糕客观价值的评估，而涉及玩家自身对其价值的主观估计。他们只需要用自己的标准去衡量分配是否公平，也就是说，他们不需要就任何东西的价值达成一致。事实上，如果不需要对事物的价值有一致的看法，公平分配会更容易一些。一个想要樱桃，另一个想要糖粉，谁都无所谓对方的——分配完毕。当数学家和社会科学家开始认真考虑这类问题时，发现了其中不为人知的重大难点。首先他们想到的是三个人应该如何分配蛋糕。不仅很难轻而易举地找到最简单的方法，而且结果出人意料。艾丽斯、鲍勃和查理都认为结果是公平的，根据自己的计算，他们至少得到了三分之一的蛋糕，但艾丽斯或许仍会嫉妒鲍勃，因为她认为他的份额比自己的大。在艾丽斯看来，查理的份额必须比她的小，才能得到补偿，这并不矛盾，因为鲍勃和查理对自己手里的那份蛋糕的价值有不同的想法。因此，寻求一个不仅公平而且不会产生嫉妒的协议是说得通的。事实上，这也是可以实现的。  


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