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[问答] 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题

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91808 20
读心2 发表于 2021-2-1 23:38:43 | 只看该作者 打印 上一主题 下一主题
 
今年由于疫情，很多数学竞赛都转成了线上。今年也是加州伯克利大学数学竞赛(BMT)第一次在线举行，往年大家要参加这项竞赛需要到美国伯克利大学参加的。BMT由伯克利大学背书，含金量肯定是不低的，而难度与含金量是成正比的。那么今天就来看一道BMT个人赛的题，是一道定积分题。
注：一般的高中生数学竞赛是很少出微积分题的 ，因为微积分属于大学内容。而伯克利数学竞赛很有特色，其中还会有涉及微积分的题，而且Focus特长赛中还有以微积分为主题的专项比赛。
下面是2014年BMT个人赛第19题：
2014-BMT-Individual Round-19
【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第1张图片 不知道大家有没有兴趣做一下，答案是 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第2张图片 .
下面我们先来看看 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第3张图片
【参考答案】
令 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第4张图片 ， 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第5张图片 ，于是

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第6张图片 ，则

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第7张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第8张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第9张图片


分别考虑  与  
（1）  
令 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第10张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第11张图片
原积分= 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第12张图片
根据公式  可知：

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第13张图片
（2）  
令 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第14张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第15张图片
原积分= 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第16张图片
根据公式 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第17张图片 可知：

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第18张图片
综上可知，



【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第19张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第20张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第21张图片 ,
因此，

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第22张图片 . 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第23张图片
有了上述的结论，那么计算原题目就简单很多了： 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第24张图片

【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第25张图片
这道题还是非常有难度的，在计算的过程中其实还有很多需要我们琢磨的地方，比如
（1）刚开始是用换元法还是比较常规的，但是 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第26张图片 不太好想呀；
（2）在计算 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第27张图片 时，最便捷的就是用公式，但是不会我们也要想到有理函数积分以及 【国际数学竞赛】一道加州伯克利大学数学竞赛(BMT)个人赛题 第28张图片 ；
不知道大家觉得如何，欢迎交流讨论~
想看视频讲解可看油管视频：https://www.youtube.com/watch?v=6v0QqJ87gdM
没有  来的直白。
想了解更多国际数学竞赛的知识，可参阅：


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标签：加州美国国际数学竞赛伯克利大学数学竞赛
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精彩评论20

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沙发
繁华依旧 发表于 2021-2-1 23:39:00 | 只看该作者
 
BMT可以用特殊函数吗。毕竟这题似乎用Beta函数解效果更佳
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板凳
玉狐 发表于 2021-2-1 23:39:56 | 只看该作者
 
[飙泪笑][赞]这毕竟是高中生的比赛，你这个有点高端了
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地板
冰禅煞 发表于 2021-2-1 23:40:42 | 只看该作者
 
这真是高中生的难度嘛，看哭了
[吃惊]
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5#
yingzi123go 发表于 2021-2-1 23:41:32 | 只看该作者
 
换元之后那个(x-1/x)^2可以用Cauchy-Schlömilch变换直接变成x^2
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6#
卡吧肥皂 发表于 2021-2-1 23:41:43 | 只看该作者
 
更多玩法可以在arXiv1004.2445里面看到[飙泪笑]
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7#
@Xizi_51HSzVNj 发表于 2021-2-1 23:42:09 | 只看该作者
 
不过sqrt(tan(x))看成sin(x)^1/2*cos^(-1/2)然后Beta函数确实更快些
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8#
许你一世小幸福 发表于 2021-2-1 23:43:05 | 只看该作者
 
[飙泪笑]那是给大佬做的，毕竟已经19题了，有兴趣看看前面的题目
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9#
愉快的加菲猫 发表于 2021-2-1 23:43:36 | 只看该作者
 
1/2 B(3/4，1/4)挺好[看看你]
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10#
xiadao2 发表于 2021-2-1 23:43:58 | 只看该作者
 
然后余元公式
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