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[问答] 第十九讲 微分中值定理

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alwaysog 发表于 2022-6-28 23:32:53 | 只看该作者 打印 上一主题 下一主题
 
写在前面的话：

好久不见，也很久没更新了，一言难尽，惭愧。从费马引理到罗尔到拉格朗日再到柯西中值定理，真是环环相扣，理解是一回事，内化还需反复理解。在学习数学的时候何尝不是一种修炼。最近读了《曾国藩》这本书，虽说是政商必备，但对于我来说是一种另一层面的激励，曾国藩说：“不论钢铁、玻璃等物，一经洋人琢磨成器，便精耀夺目。我从中悟出一个道理，天下之物，凡加倍磨冶，皆可变换本质，别生精彩，何况人之于学！但能日新又新，百倍其功，何必忧虑不能变化气质，超凡入圣”。抱着知其然，知其所以然的态度学数学，可磨砺心智，亦可触类旁通。当下“强基计划”如火如荼地进行，数学作为基础学科，更需要踏实研究，不只为考试得高分，更为心中的那一分纯粹！
一、费马（Fermat）引理


  • 定义：设函数 在点 的某邻域 第十九讲 微分中值定理 第1张图片 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 （或 ），那么 第十九讲 微分中值定理 第2张图片 。
证明：不妨设  时，  （如果  ，可以类似地证明）。于是对于 第十九讲 微分中值定理 第3张图片 ，有

第十九讲 微分中值定理 第4张图片
从而当 第十九讲 微分中值定理 第5张图片 时， 第十九讲 微分中值定理 第6张图片 ;
当 第十九讲 微分中值定理 第7张图片 时， 第十九讲 微分中值定理 第8张图片 .
根据函数极限的保号性（函数值大于等于或小于等于  ,则极限值大于等于或小于等于  ，戳我了解），可由 第十九讲 微分中值定理 第9张图片 式得出 第十九讲 微分中值定理 第10张图片 式：
第十九讲 微分中值定理 第11张图片
再根据  在  处可导的条件（左右导数存在且相等）：

第十九讲 微分中值定理 第12张图片
证毕。
通常我们称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。
二、罗尔（Rolle）定理


  • 定义：如果函数 满足

在闭区间 上连续；

在开区间 内可导；

在区间端点处的函数值相等，即 ，
那么，在 内至少有一点 第十九讲 微分中值定理 第13张图片 ，使得 .
证明：函数  在闭区间  上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理（戳我了解），  在闭区间  上必可取得最大值  和最小值  ，那么会出现两种情况：
   ① 第十九讲 微分中值定理 第14张图片 ,即  在闭区间  上的最大值和最小值为同一个数值，亦即  恒为常数（图像平行于  轴），由此 第十九讲 微分中值定理 第15张图片 有  。
  ② 第十九讲 微分中值定理 第16张图片 ，即  在闭区间  上的最大值和最小值不是同一个值，又 第十九讲 微分中值定理 第17张图片 定义中条件  ：区间端点函数值， 第十九讲 微分中值定理 第18张图片  与  不可能同时等于端点函数值，即二者至少有一个不等于端点函数值，不妨设 第十九讲 微分中值定理 第19张图片 （第十九讲 微分中值定理 第20张图片证法一样），这样就保证了最大值  不在端点处取得，即 第十九讲 微分中值定理 第21张图片 （注意是开区间），使得 第十九讲 微分中值定理 第22张图片 ，因此 第十九讲 微分中值定理 第23张图片 有 第十九讲 微分中值定理 第24张图片 ，从而由费马引理可知  。
  证毕！
注：在罗尔定理中，由条件 第十九讲 微分中值定理 第25张图片 可以推出“存在导数为零的点”这一结论。其实跳出罗尔定理单就此结论而言，这三个条件是充分不必要的（即使不同时满足这三个条件，也可以有这一结论）：
① 若缺少条件  ，即函数不连续，也可能存在：

第十九讲 微分中值定理 第26张图片
② 若缺少条件  ，即不可导，也可能存在：

第十九讲 微分中值定理 第27张图片
③ 若缺少条件  ，即区间端点函数值不相等 第十九讲 微分中值定理 第28张图片 ，也可能存在：

第十九讲 微分中值定理 第29张图片
现在我们回到罗尔定理，通俗讲可以概括为：在平面直角坐标系中，有两个相同高度的点（条件  :  )，画一条线连接这两个点，这条线不能断（条件  ：  上连续），并且要使这条线光滑（条件  ：  内可导）。那么，必然会存在至少一点  处切线平行于  轴（  ，其实也就是说 点处的切线平行于两个端点的连线）：

第十九讲 微分中值定理 第30张图片
三、拉格朗日（Lagrange）中值定理

罗尔定理中条件  强调：端点处的函数值必须相等（  )，这限制了罗勒定理的应用范围。如果不考虑罗尔定理中的条件  而只保留前两个条件，就引出了拉格朗日中值定理：

  • 定义：如果函数 满足

在闭区间 上连续；

在开区间 内可导，
那么在 内至少有一点 第十九讲 微分中值定理 第31张图片 ，使如下等式成立：

第十九讲 微分中值定理 第32张图片
也就是说在开区间  内  的图像上至少存在一点处的切线平行于 第十九讲 微分中值定理 第33张图片 的连线（即 第十九讲 微分中值定理 第34张图片 等于弦 的斜率），如下图：

第十九讲 微分中值定理 第35张图片
证明Lagrange中值定理：
我们已经领略并且证明了罗尔定理。那么如何利用罗尔定理，证明拉格朗日（Lagrange）中值定理呢 ？
我们势必构造出一个函数，使其满足罗尔定理的三个条件。

  • 第1步：如下图所示，  的图像为红色曲线，  的图像为线段  。分别在函数  的图像与弦  上取  和  点（它们的横坐标相等）。那么 和  点的纵坐标之差记为 第十九讲 微分中值定理 第36张图片 ；而由直线的点斜式公式可得 第十九讲 微分中值定理 第37张图片 。因此， 第十九讲 微分中值定理 第38张图片

第十九讲 微分中值定理 第39张图片

  • 第2步：因为  和  在闭区间  上均连续，在开区间  内均可导；根据第十讲的定理一（戳我了解）与第十四讲的定理一（戳我了解），二者的差  自然也满足：在闭区间  上连续，在开区间  内可导，即罗尔定理的条件  和条件  。而又因为在 第十九讲 微分中值定理 第40张图片 或 第十九讲 微分中值定理 第41张图片 （区间端点处）时，  和 之差 第十九讲 微分中值定理 第42张图片 ，因此 自然又满足罗尔定理的条件  ：端点处的函数值相等，即 第十九讲 微分中值定理 第43张图片 。
  • 第3步：由于 满足罗尔定理的全部 第十九讲 微分中值定理 第44张图片 个条件，所以有结论：至少存在一点 第十九讲 微分中值定理 第45张图片 使 第十九讲 微分中值定理 第46张图片 。即 第十九讲 微分中值定理 第47张图片
  • 证毕！
四、柯西（Cauchy）中值定理

还记得第十六讲（戳我了解）参数方程所确定函数的求导方法吗？在此，特引入抛物线的参数方程：
如下图所示，炮弹从初始位置  以初速度 第十九讲 微分中值定理 第48张图片 （水平分量为 第十九讲 微分中值定理 第49张图片，竖直分量为 第十九讲 微分中值定理 第50张图片 ）倾斜向上发射。虽然我们可以利用一元二次方程 第十九讲 微分中值定理 第51张图片 直接建立横坐标  和 纵坐标  的关系。但是，我更愿意把横坐标  和 纵坐标  孤立来看，它们都是时间  的函数（不妨设初始时刻  ），即 第十九讲 微分中值定理 第52张图片 。炮弹在坐标系  上的坐标 第十九讲 微分中值定理 第53张图片满足参数方程第十九讲 微分中值定理 第54张图片 ，

第十九讲 微分中值定理 第55张图片
这样我们就可以套用第十六讲中【参数方程所确定函数】的导数公式求出  坐标系上炮弹轨迹任意一点处的导数：

第十九讲 微分中值定理 第56张图片 .
【参数方程所确定的函数】炮弹轨迹图像恰恰满足拉格朗日中值定理的两个几何条件。即，

  • 时间参数  在闭区间  上变化 第十九讲 微分中值定理 第57张图片 ，抛物线轨迹在  坐标系上是一条连续的曲线（闭区间上连续）；
  • 时间参数  在开区间  内变化 第十九讲 微分中值定理 第58张图片 ，抛物线轨迹在  坐标系上是一条光滑可导的曲线（开区间内可导）；
那么根据拉格朗日中值定理，炮弹必然会在某个时刻  ，所到之处（设为  点）的切线平行于起点  和终点 第十九讲 微分中值定理 第59张图片 的连线  。
线段  的斜率理为 第十九讲 微分中值定理 第60张图片 ，对于点  、 第十九讲 微分中值定理 第61张图片 的坐标 第十九讲 微分中值定理 第62张图片 和 第十九讲 微分中值定理 第63张图片 都是时间  的函数  。当  时，炮弹在点 第十九讲 微分中值定理 第64张图片 ，当 第十九讲 微分中值定理 第65张图片 时，炮弹在点 第十九讲 微分中值定理 第66张图片。因此求得  的斜率为 第十九讲 微分中值定理 第67张图片 ；
与 平行的  点切线，其斜率如何求呢？根据【参数方程确定的函数】的求导公式，即本文中 第十九讲 微分中值定理 第68张图片 式，可得当在时刻  时，炮弹所到之处（  点）的斜率为 第十九讲 微分中值定理 第69张图片 。
由平行关系（斜率相等）得到：第十九讲 微分中值定理 第70张图片
咦～这不是柯西中值定理的结论吗？不急不急，为了严谨，下面还要再讨论一番。

第十九讲 微分中值定理 第71张图片
其实，我选择这个参数方程除了简单明了的特点之外，还有另一层原因。并不是所有的参数方程都可以得出 第十九讲 微分中值定理 第72张图片 式。 可转化为 第十九讲 微分中值定理 第73张图片 其中 第十九讲 微分中值定理 第74张图片 为 第十九讲 微分中值定理 第75张图片 的反函数，将  带入 第十九讲 微分中值定理 第76张图片 可得出  与  的函数关系第十九讲 微分中值定理 第77张图片 。
而要想使复合函数  在  坐标系上满足拉格朗日的几何条件。就要使内层函数  存在且其导数存在。否则，就无法在此处引入拉格朗日中值定理的两个条件， 第十九讲 微分中值定理 第78张图片 式也就无从谈起了。
好了不妨可以给出柯西（Cauchy）中值定理了。
柯西中值定理：如果函数 第十九讲 微分中值定理 第79张图片 和 第十九讲 微分中值定理 第80张图片 满足

在闭区间 上连续；

在开区间 内可导；

对任意的 ，
那么，在 内至少有一点 ，使等式 第十九讲 微分中值定理 第81张图片 成立。
注意：柯西中值定理针对参数方程 中的两个函数给出了限制了条件。假设，函数 对任意的  ， 第十九讲 微分中值定理 第82张图片 有正有负，根据导函数介值定理亦即达布定理（学有余力的同学可以自行查阅资料），必有第十九讲 微分中值定理 第83张图片。所以条件"  对任意的 ， "说明函数 必然是严格单调的，这样的话复合函数 的内层函数  及其导函数才存在，从而结合条件  和  保证了复合函数在  坐标系上满足拉格朗日的几何条件。
证明：见教科书
其实，柯西中值定理在某种意义上说，可以看作是拉格朗日中值定理应用在【参数方程所确定的函数】上。
由于本人精力和水平有限，写文章一为个人兴趣，二为给大家带来少许帮助。不必催更了，我会更下去，但是会很慢。我相信只要愿意学，一定会有越来越多的读者愿意以研究的态度去学习。对于喜欢数学的读者，我在此推荐一本《普林斯顿微积分读本》，讲得挺不错的，像讲故事一样，深入浅出。本节我也提到了反函数，下面是这本书关于反函数的一些论述，我觉得写得挺好的。当然，这本书适合做教材的辅助，可以帮助理解一些晦涩的知识，不过还是要以学校的课本为主。

第十九讲 微分中值定理 第84张图片

第十九讲 微分中值定理 第85张图片

第十九讲 微分中值定理 第86张图片

第十九讲 微分中值定理 第87张图片


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标签：微分中值定理柯西中值定理一言难尽拉格朗日好久不见
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沙发
Ulysess 发表于 2022-6-28 23:33:45 | 只看该作者
 
[感谢]
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板凳
nnyyzhangy 发表于 2022-6-28 23:34:17 | 只看该作者
 
莫非是工大土木院的老学长[赞同]
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地板
痞子阿姆 发表于 2022-6-28 23:35:12 | 只看该作者
 
真的很感谢 看到你的讲解，理解了很多。
就是后面的定积分和不定积分还没有出 但是俺们马上要考试了
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5#
lok333 发表于 2022-6-28 23:35:57 | 只看该作者
 
🤝
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6#
小踩yd 发表于 2022-6-28 23:36:18 | 只看该作者
 
先备考重点知识，别把时间浪费在钻研上。考完再看我的[大笑]
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7#
思超 发表于 2022-6-28 23:36:36 | 只看该作者
 
太谢谢大哥您了，您对我的帮助太大了，给您三连。
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8#
过河卒子 发表于 2022-6-28 23:36:51 | 只看该作者
 
呜呜呜您终于回来了！！
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9#
詩嫚 发表于 2022-6-28 23:37:19 | 只看该作者
 
[握手]
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