的情形这就是函数域情形的abelian class field theory。 的情形在197x年由Drinfeld证明（这位也是Fields medalist）。L.Lafforgue证明的是 的情形。
简单介绍一下Lafforgue的方法。首先根据一些不太困难的argument，我们只需要证明automorphic to Galois方向。在数域情形，这个方向的标准的做法是所谓的Langlands-Kottwitz方法，也就是考虑Shimura varieties，它们的etale cohomology groups带有交换的Hecke代数作用和Galois群作用，于是可以分解成这两个群的不可约表示的tensor的直和，这样的tensor就给出了一一对应。至于验证L-factors对应相等，需要取test functions然后比较Grothendieck-Lefschetz trace formula以及Arthur-Selberg trace formula，更多细节也参见我上面贴的那个回答。在函数域情形，Shimura variety的角色被moduli space of Shtukas所取代，由Drinfeld最先在 的情况取得成功。Lafforgue的思路和Drinfeld相似，但是面临更为恐怖的技术细节，尤其是trace formula部分——以我的水平并不能彻底理解这其中的困难，所以我只从一个侧面来反映技术细节的复杂：Lafforgue的论文"Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands."在2002年发表在Invent上，长达241页。By the way，数域情形的Langlands对应还远远没有解决，所以函数域的完整解决被认为是一个breakthrough。
接下来是参考文献环节。除了上面贴的回答里的文献以外，我参考了Lafforgue的导师Laumon的文章"The Langlands Correspondence for Function Fields following Laurent Lafforgue"。Laumon写的书“Cohomology of Drinfeld modular varieties”的内容也和这个主题高度相关，可以看成是对一部分自守表示构造了Galois对应，并且思路和Lafforgue相似。
最近比较忙，暂时只能展开这么多了，有任何批评意见、或者有需要补充的欢迎指出。
我们需要这样的一个bijection满足一些自然的要求，简单的说就是在几乎所有place保持local L-factor相同。更多细节可以参见我之前的回答
朗兰兹纲领对现代数学有何影响？ 的情形这就是函数域情形的abelian class field theory。 的情形在197x年由Drinfeld证明（这位也是Fields medalist）。L.Lafforgue证明的是 的情形。
简单介绍一下Lafforgue的方法。首先根据一些不太困难的argument，我们只需要证明automorphic to Galois方向。在数域情形，这个方向的标准的做法是所谓的Langlands-Kottwitz方法，也就是考虑Shimura varieties，它们的etale cohomology groups带有交换的Hecke代数作用和Galois群作用，于是可以分解成这两个群的不可约表示的tensor的直和，这样的tensor就给出了一一对应。至于验证L-factors对应相等，需要取test functions然后比较Grothendieck-Lefschetz trace formula以及Arthur-Selberg trace formula，更多细节也参见我上面贴的那个回答。在函数域情形，Shimura variety的角色被moduli space of Shtukas所取代，由Drinfeld最先在 的情况取得成功。Lafforgue的思路和Drinfeld相似，但是面临更为恐怖的技术细节，尤其是trace formula部分——以我的水平并不能彻底理解这其中的困难，所以我只从一个侧面来反映技术细节的复杂：Lafforgue的论文"Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands."在2002年发表在Invent上，长达241页。By the way，数域情形的Langlands对应还远远没有解决，所以函数域的完整解决被认为是一个breakthrough。
接下来是参考文献环节。除了上面贴的回答里的文献以外，我参考了Lafforgue的导师Laumon的文章"The Langlands Correspondence for Function Fields following Laurent Lafforgue"。Laumon写的书“Cohomology of Drinfeld modular varieties”的内容也和这个主题高度相关，可以看成是对一部分自守表示构造了Galois对应，并且思路和Lafforgue相似。
最近比较忙，暂时只能展开这么多了，有任何批评意见、或者有需要补充的欢迎指出。
"Laurent Lafforgue has been awarded the Fields Medal for his proof of the Langlands correspondence for the full linear groups GLr (r≥1) over function fields of positive characteristic."
师门发展
从师门发展来看，另一位菲尔兹奖得主 Ngo, Bao Chau 跟他是师兄弟关系，两个人都是从事数学方面的科研工作。
虽然企业里面的人也经常说某某是大佬，某某是首席科学家。但是在 Fields Medal 面前，恐怕还是要略逊一筹，毕竟对于所有数学家而言，每四年才有四个机会拿到 Fields 奖，这个和 XX 方向的顶会完全不是一个概念。Fields Medal 的获得者可能不是最聪明的，但是绝对是数学领域中能够说得上话的人物，完全有能力主导一个大型研究方向。
虽然笔者对这位 Fields 奖得主的研究方向完全不懂，但是他被大型科技公司聘请也算是情理之中的事情，毕竟大型科技公司在进行研发的时候，时不时会遇到数学问题。后续遇到相关困难，直接提交给大佬或者大佬的小弟就好了，只要认真想总能够解决问题的。大佬的研究方向可能不一定能够直接应用到科技领域，但是大佬也有可能改变自身研究方向，同时对其他方向产生兴趣，能够促进科技的进步也说不定。退一步讲，这种大佬总有小弟，实在不行让一帮数学 PHD 想，总能够想出一个大概的思路和方案。
也有其他答案提到大佬的研究方向跟科技公司交集不大。其实我想说，只要人够聪明，并且愿意学习其他领域的知识，对这些大佬或者大佬的小弟而言，真的难度不大。事实上有一大批数学方面的博士都能够成功在互联网从事机器学习的研发工作，数学博士能够学得懂，Fields 大佬就真学不懂？大佬的小弟也学不懂？转行的知识，只是对一些人难而已，对 IMO 银牌，Fields 奖级别的人而言，真没啥门槛，只是是否愿意学和研究而已。难道大佬还看不懂这本书？
之前在读书的时候，有一个老师讲了一个故事。当年老师还是博士生的时候，遇到一个外国人，问他为什么不去跟 XXX 教授（沃尔夫奖得主）攻读博士学位。外国人说：“我看不出来有什么题目是 XXX 教授做不出来，而我能够做出来的。”这句话用在这里也挺合适，不知道有什么数学题目是 Fields 奖得主和小弟们做不出来，而其他普通人能够做出来的。例如， 连 Terence Tao 想搞都搞不定的数学问题，估计大多数普通人连想都不用去想了。普通人一旦做出来，马上晋升大佬行列。
Fields 大佬加入高科技公司，也不是单枪匹马，总要有一个 team 加上各种的资源配置。虽然不确定大佬未来对公司有啥成绩，但是能够加入高科技公司，为公司招募更多的优秀人才，对双方都不是一件坏事。
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千斤顶
照妖镜
