MHD等离子体物理模型
MHD应用条件
The fluid equations given in the last section are very general; however, they are incomplete and still contAIn too wide a range of time and spacescales to be useful for many purposes. To proceed, we make a number of simplifying approximations that allow the omission of the terms in Maxwell's equations that lead to light waves and high-frequency plasma oscillations. These approximations are valid provided the velocities (v), frequencies (ω), and length scales of interest (L) satisfy the inequalities:
\left\{\begin{array}{l} v\ll c ,\\ \omega\ll \omega_{pe} ,\\ L\gg \lambda_{Debye} .\\ \end{array}\right.
Here $ω_{pe}$ is the electron plasma frequency, and $λ_{Debye}$ is the Debye length.
等离子体近似
\left\{\begin{array}{l} n_i=n_e ,&&(电中性)\\ \nabla\cdot\vec{\mathbf E}\neq0 .&&(点电源)\\ \end{array}\right.
磁流体方程组
单流体完整封闭形式如下：
\left\{\begin{array}{rl} \cfrac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+\nabla\cdot(\rho\vec{\mathbf u})&=0 ,&&(连续性方程)\\ \rho\cfrac{d\vec{\mathbf u}}{dt}&=-\nabla \mathbf p+\vec{\mathbf j}\times\vec{\mathbf B} ,&&(运动方程)\\ \cfrac{d\vec{(\mathbf p\rho^{-\lambda}})}{dt}&=\frac{2}{3\sigma_c}\rho^{-\lambda}\mathbf j^2 ,&&(状态方程)\\ \nabla\times\vec{\mathbf E}&=-\cfrac{\partial{\vec{\mathbf B}}}{\partial{t}} ,&&(法拉第定律)\\ \nabla\times\vec{\mathbf B}&=\mu_0\vec{\mathbf j} ,&&(安培定律)\\ \vec{\mathbf j}&=\sigma_c(\vec{\mathbf E}+\vec{\mathbf u}\times\vec{\mathbf B}) .&&(欧姆定律) \end{array}\right.
此处，物质导数算子为 $\cfrac{d}{dt}=\cfrac{\partial}{\partial t}+\vec{\mathbf u}\cdot\nabla$.
考虑无黏性、绝热、理想导体( $\sigma _c \rightarrow \infty$ )，化为理想磁流体( Ideal Magnetic Fiuld )得：
\left\{\begin{array}{rl} \cfrac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+\nabla\cdot(\rho\vec{\mathbf u})&=0 ,&&(连续性方程)\\ \rho\cfrac{d\vec{\mathbf u}}{dt}&=-\nabla \mathbf p+\vec{\mathbf j}\times\vec{\mathbf B} ,&&(运动方程)\\ \cfrac{d\vec{(\mathbf p\rho^{-\lambda}})}{dt}&=0 ,&&(状态方程)\\ \nabla\times(\vec{\mathbf u}\times\vec{\mathbf B})&=\cfrac{\partial{\vec{\mathbf B}}}{\partial{t}} ,&&(法拉第定律)\\ \nabla\times\vec{\mathbf B}&=\mu_0\vec{\mathbf j} ,&&(安培定律)\\ \vec{\mathbf E}+\vec{\mathbf u}\times\vec{\mathbf B}&=0 .&&(欧姆定律) \end{array}\right.
CFD求解过程
无论是流动问题、传热问题，还是污染物的运移问题，无论是稳态问题还是瞬态问题，其求解过程都可以用下图表示。
总体计算流程
1.建立控制方程
建立控制方程是求解任何问题前都必须首先进行的。一般的流体流动可根据之前的流体控制方程直接给出。当处于湍流时要添加湍流方程。
2.确定边界条件与初始条件
初始条件与边界条件是控制方程有确定解的前提，控制方程与相应的初始条件、边界条件的组合构成对一个物理过程完整的数学描述。
初始条件是所研究对象在过程开始时刻各个求解变量的空间分布情况。对于瞬态问题必须给定初始条件。对于稳态问题，不需要初始条件。
边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随地点和时间的变化规律。对于任何问题都需要给定边界条件。
3.划分计算网格
采用数值方法求解控制方程时，都是想办法将控制方程在空间区域上进行离散，然后求解得到的离散方程组。要想在空间域上离散控制方程，必须使用网格。现已发展出多种对各种区域进行离散以生成网格的办法，统称为网格生成技术。网格的生产过程就是计算平面到物理平面的坐标映射过程。
不同的问题采用不同的数值解法时，所需要的网格形式是有一定的区别的，但生成网格的办法基本一致，目前网格分为结构网格和非结构网格两大类。简单来讲，结构网格在空间上比较规范，而非结构网格在空间分布上没有明显的行线和列线。结构化网格生成方法有：代数方法生成网格、椭圆形微分方程方法生成网格和Thomas&Middlecoff方法生成网格。非结构化网格生成技术有：四叉树（二维）/八叉树（三维）方法、Delaunay方法、阵面推进法。
4.建立离散方程
对于在求解域内所建立的偏微分方程，理论上是有真解的（精确解或解析解）。但是由于所处理的问题自身的复杂性，一般很难获得方程的真解。因此，就需要通过数值方法把计算域内有限数量位置（网格节点或网格中心点）上的因变量当作基本未知量来处理，从而建立起一组关于这些未知量的代数方程组，通过求解代数方程组来得到这些节点值，从而计算域内其他位置上的值则根据节点位置上的值来确定。
由于所引入的应变量在节点之间的分布假设及推导离散化方程的方法不同，就形成了有限差分法（FDM）、有限体积法（DVM）、有限元法（FEM）等不同的离散化方法。对于瞬态问题，除了在空间域上的离散外，还要涉及在时间域上的离散。离散后，将要涉及使用何种时间积分方案的问题。
5.离散初始条件和边界条件
前面所给的初始条件和初始边界是连续的，现在需要针对所生产的网格，将连续性的初始条件和边界条件转化为特定节点上的值。这样连同在上一阶段生产的离散控制方程才能对方程组进行求解。在商业CFD软件中，往往在前处理阶段完成网格划分后，直接在边界上指定初始条件和边界条件，然后由前处理软件自动将这些初始条件和边界条件按离散的方式分配到相应的节点上去。
6.给定求解控制参数
在离散空间上建立了离散化的代数方程组，并施加离散化的初始条件和边界条件后，还需要给定流体的物理参数个湍流模型的经验系数。此外，还要给定迭代计算的控制精度、瞬态问题的时间步长和输出频率等。
7.求解离散方程
在进行上述设置后，生产了具有定解条件的代数方程组。对于这些方程组数学上已有相应的解法，如线性方程组可采用Gauss消去法或Gauss-Seidel迭代法求解。商用CFD软件往往提供不同的解法，以适应不同类型的问题。这属于求解器设置的范畴。
8.判断解的收散性
对于稳态问题的解，或是瞬态问题在某个特定时间步上的解，往往要通过多次迭代才能得到。有时因为网格形式或网格大小、对流项的离散插值格式等原因，可能导致解的发散。对于瞬态问题，若采用显式格式进行时间域上的积分，当时间步长过大时，也可能造成解的振荡或发散。因此，在迭代过程中，要对解的收敛性随时监视，并在系统达到指定精度后结束迭代过程。
9.显示和输出计算结果
通过上述求解过程得到个计算节点上的解后，需要通过适当的手段将整个计算域上的结果表示出来。这是，我们可以采用线值图、矢量图、等值线图、流线图、云图等方式。
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CFD数值计算的离散方法
FDM 有限差分法
有限差分法是数值解法中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用于有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程(控制方程) 的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
该方法的产生和发展比较早，也比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件复杂，尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和中间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
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有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
FEM 有限元法
有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理(变分或加权余量法)，将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
有限元法对椭圆型问题有更好的适应牲。有限元求解的速度比有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件上应用并不广泛。
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有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数 形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元 上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同 ，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线 性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：
建立积分方程：根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
区域单元剖分：根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
确定单元基函数：根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。
边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
FVM 有限体积法
有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。其中的未知数是网格节点上的因变量。子域法加离散，就是有限体积法的基本思想。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。
有限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制集体都得到满足。对整个计算区域，自然也得到满足，这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法即使在粗网铬情况下也显示出准确的积分守恒。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物，三者各有所长。有限差分法直观，理论成熟，精度可选，但是不规则区域处理繁琐。虽然网格生成可以使有限差分法应用于不规则区域，但是对于区域的连续性等要求较严。使用有限差分法的好处在于易于编程，易于并行。有限元法适合于处理复杂区域，精度可选。缺点是内存和计算量巨大，并行不如有限差分法和有限体积法直观。有限体积法适用于流体计算，可以应用于不规则网格，适用于并行，但是精度基本上只能是二阶。有限元法在应力应变，高频电磁场方面的特株优点在被人重视。
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有限体积法（Finite Volume Method）又称为控制体积法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积发的基本方法。
有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控 制体积中的守恒原理一样。限体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值 ，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程 中不同的项采取不同的插值函数。
CE/SE method 时-空守恒元解元方法
为了简化格式的构造过程, 增加求解速度,NASA Lewis 研究中心 Chang 等的研究组于1995年提出了一种新的显式计算守恒型方程的格式 —— 时–空守恒元解元方法 (space-time conservation element and solution element method, CE/SE). 这种方法从根本上区别于传统的方法：它将时间和空间统一起来同等对待; 利用守恒型积分方程, 通过定义解元和守恒元使得局部和整体都严格满足守恒律;在推广到多维问题时, 不需要采用算子分裂或者方向交替技术; 该方法在给出网格点物理量值的同时也一起给出了物理量的偏导数, 同传统的差分格式相比, 在相同的基点下可以大大提高格式精度. CE/SE 方法能以较高的分辨率求解间断流场; 它的另一个优点就是构造比较简单, 除了简单的泰勒展开和散度定理外, 没有采用复杂的数值方法, 尤其是不需要采用其他的特征分析数值方法 (如 Riemann 求解器) 来捕捉激波、抑制振荡等.CE/SE 方法已成功用于流体、固体以及流体弹塑性模型的数值计算.
CE/SE 方法与有限体积方法具有相似的特性,也采用三角形或四边形网格 (三维采用四面体或六面体网格), 利用格林公式将体积分形式的控制方程转化为面积分形式的通量方程, 通过求解转化后的通量方程得到问题的数值解. 但是, CE/SE方法又具有自己的特点：该方法采用泰勒展式构造格式, 在捕捉激波间断时, 仅处理数值导数项, 不采用流通量分裂、黎曼求解器等 CFD 中常见的间断捕捉方法, 提高了格式的求解速度并简化了格式的构造过程. 它把时间等同为欧氏空间的一个分量, 通过散度定理将 n 维空间的守恒型体积分发展方程转化为 n+1 维空间 (在原坐标基础上增加时间为第 n+1 维分量) 各表面的面积分方程, 保障了时空区域的守恒性.在求解过程中, 用类似紧致格式的方法来计算各物理量的空间导数, 从而在不增加模板点的基础上提高了格式的计算精度.
CE/SE 方法已经被成功地用来求解电磁学方程组和磁流体问题. Wang 等求解了含时Maxwell 方程组. Zhang 等推导了理想磁流体动力学方程组的 CE/SE 格式, 由于 CE/SE 方法的优越性, 他们的格式不需要对磁感应强度散度为零的限制条件做特殊处理. Qamar 等、Feng等、Ji 等使用 CE/SE 方法求解了磁流体动力学方程组. Chou 等将 AMR 方法与 CE/SE方法相结合, 计算了等电子聚焦 (IEF) 和等速电泳(ITP) 问题.
—— 《时–空守恒元解元 (CE/SE) 方法综述》- 刘凯欣,王景焘,王刚,陈千一,付峥,吴士玉
CE/SE 方法于等离子体数值模拟上的应用例如：
《CE/SE方法模拟等离子体电枢二维MHD效应》- 李昕,翁春生
《等离子体射流的数值模拟》- 张常东
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